Probabilités et statistiques

Introduction: Probabilités et statistiques

Les probabilités vont nous servir à modéliser une expérience aléatoire, c’est-à-dire un phénomène dont on ne peut pas prédire l’issue avec certitude, et pour lequel on décide que le dénouement sera le fait du hasard.
Exemples :
- l’enfant à naître sera une fille,
- l’équipe de l’OL va battre l’OM lors du prochain match qui les opposera,
- le dé va faire un nombre pair.
La première tâche qui vous attend est de décrire les différentes issues possibles de cette expérience aléatoire. Puis on cherche à associer à chacune de ces éventualités un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu’elles ont de se réaliser. Comment interpréter/fixer ce nombre, appelé probabilité ? Il existe plusieurs manières de voir.

Objectif du cours: Probabilités et statistiques

Maîtriser les bases des probabilités et des statistiques.

Contenu: Probabilités et statistiques

1 Introduction : probabilité sur un espace fini

1.1 Probabilité sur un espace fini, événements

Probabilités uniformes

1.2 Probabilité conditionnelle et indépendance

Probabilité conditionnelle
Indépendance

2 Variables aléatoires discrètes

2.1 Espace de probabilité

2.2 Variables aléatoires discrètes

Indépendance
Lois discrètes usuelles
Loi marginale

2.3 Espérance et variance

Espérance
Variance

2.4 Fonction génératrice des variables aléatoires entières

2.5 Loi et espérance conditionnelles

3 Variables aléatoires à densité

3.1 Manipulation d’intégrales multiples

3.2 Variables aléatoires réelles à densité

Densités réelles usuelles
Espérance, variance
Fonction de répartition

3.3 Vecteurs aléatoires à densité

Densité marginale
Changement de variables
Indépendance
Covariance
Loi et espérance conditionnelles

3.4 Lois béta, gamma, du chi 2, de Student et de Fisher

4 Simulation

4.1 Simulation de variables aléatoires discrètes

Loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1]
Loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1]
Loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1]
Simulation suivant une loi discrète quelconque

4.2 Simulation de variables aléatoires à densité

Loi uniforme sur [a, b] avec a < b ∈ R
Méthode d’inversion de la fonction de répartition
Méthode polaire pour la loi normale centrée réduite
Méthode du rejet

5 Convergence et théorèmes limites

5.1 Convergence

5.2 Lois des grands nombres

Loi faible des grands nombres
Loi forte des grands nombres

5.3 Fonction caractéristique et convergence en loi

Fonction caractéristique
Convergence en loi

5.4 Le théorème de la limite centrale

Enoncé et preuve du résultat
Intervalle de confiance dans la méthode de Monte-Carlo

6 Vecteurs gaussiens

Stabilité du caractère gaussien par transformation linéaire
Construction d’un vecteur gaussien de loi Nn(µ, Λ)

6.2 Propriétés des vecteurs gaussiens

Vecteurs gaussiens et indépendance
Vecteurs gaussiens et convergence en loi

7 Estimation de paramètres

7.1 Modèle paramétrique

7.2 Estimateurs

L’Estimateur du Maximum de Vraisemblance
Estimateurs de Moments
Amélioration d’estimateurs

7.3 Intervalles de confiance

Approche non asymptotique
Approche asymptotique

8 Tests d’hypothèses

8.1 Tests

Le cas du modèle gaussien P = {N1(µ, σ2), µ ∈ R, σ2 > 0} :

8.2 Le test du χ2

Test d’adéquation à une loi
Test d’adéquation à une famille de lois

9 Régression Linéaire

9.1 Estimation

9.2 Test de l’utilité des régresseurs

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MATHÉMATIQUES

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