Echantillons et fluctuations - Corrigé série d'exercices - Mathématiques Classe de première s (1ère S) PDF

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Probabilités (Variable aléatoire - Loi binomiale)

L’étude et la comparaison de séries statistiques menées en classe de seconde se poursuivent avec la mise en place de nouveaux outils dans l’analyse de données. L’objectif est de faire réfléchir les élèves sur des données réelles, riches et variées (issues, par exemple, de fichiers mis à disposition par l’Insee).
La notion de loi de probabilité d’une variable aléatoire permet de modéliser des situations aléatoires, d’en proposer un traitement probabiliste et de justifier certains faits observés expérimentalement en classe de seconde.
L’utilisation des arbres pondérés est développée pour modéliser la répétition d’expériences identiques et indépendantes. Elle est restreinte à ce cadre afin d’éviter toute confusion avec des situations relevant des probabilités conditionnelles.
Dans le cas particulier d’expériences identiques et indépendantes à deux issues, on introduit la loi binomiale.
En s’appuyant sur cette loi, on poursuit la formation des élèves dans le domaine de l’échantillonnage.

Contenus: Probabilités (Variable aléatoire - Loi binomiale) - Première S

• Variable aléatoire discrète et loi de probabilité.
• loi de Bernoulli.
• Loi binomiale.
• Espérance, variance et écart-type.
• Modèle de la répétition d’expériences identiques et indépendantes à deux ou trois issues.
• Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
• Schéma de Bernoulli, loi binomiale (loi du nombre de succès).
• Coefficients binomiaux, triangle de Pascal.

Capacités attendues: Probabilités (Variable aléatoire - Loi binomiale) - Première S

• Déterminer et exploiter la loi d’une variable aléatoire.
• Interpréter l’espérance comme valeur moyenne dans le cas d’un grand nombre de répétitions.
• Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré.
• Utiliser cette représentation pour déterminer la loi d’une variable aléatoire associée à une telle situation.
• Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale.
• Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale.

Commentaires: Probabilités (Variable aléatoire - Loi binomiale) - Première S

• À l’aide de simulations et d’une approche heuristique de la loi des grands nombres, on fait le lien avec la moyenne et la variance d’une série de données.
• On exploite les fonctionnalités de la calculatrice ou d’un logiciel pour déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire.
• On démontre les formules suivantes sur l’espérance et la variance : E(aX+b)=aE(X) b et V(aX)=a^2V(X).
• Pour la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
• La notion de probabilité conditionnelle est hors programme.
• On peut aussi traiter quelques situations autour de la loi géométrique tronquée.
• On peut simuler la loi géométrique tronquée avec un algorithme.
• La représentation à l’aide d’un arbre est privilégiée : il s’agit ici d’installer une représentation mentale efficace. On peut ainsi : faciliter la découverte de la loi binomiale pour des petites valeurs de n (n<=4 ).
• établir enfin la formule générale de la loi binomiale.
• L’utilisation des coefficients binomiaux dans des problèmes de dénombrement et leur écriture à l’aide des factorielles ne sont pas des attendus du programme.
• En pratique, on utilise une calculatrice ou un logiciel pour obtenir les valeurs des coefficients binomiaux, calculer directement des probabilités et représenter graphiquement la loi binomiale.
• Espérance, variance et écarttype de la loi binomiale.
• Utiliser l’espérance d’une loi binomiale dans des contextes variés.
• La formule donnant l’espérance de la loi binomiale est conjecturée puis admise, celle de la variance est admise.
• On peut simuler la loi binomiale avec un algorithme.

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